摘要

受Greenberg-Hastings元胞自动机(GHCA)作为可激发态系统的一种表征的研究启发，本文研究了由标量反应扩散型\(\theta \)-可激发态角相动力学方程给出的最简单的可激发态PDE模型中的扭扭-反扭扭动力学。一方面，我们利用比较原理和阶地理论定性地研究了几何扭结位置。这产生了最小初始距离作为全局下界，一个定义良好的扭结和反扭结的碰撞数据序列，并暗示周期纯扭结序列是渐近等距的。另一方面，我们利用弱相互作用理论研究了有限多扭结的亚稳态动力学，并对某些解析扭结位置进行了严格的约化为ODE。通过爆破型奇异重标，证明了距离在有限时间内是有序的，并最终发散。我们得出结论，扩散意味着扭结距离信息的丢失，因此基于GHCA中位置和碰撞的熵复杂度不会简单地传递到PDE模型中。

1 介绍

许多空间扩展的物理、化学和生物系统形成了所谓的可激发介质，在这种介质中，来自稳定平衡的超临界扰动触发了一种激发，这种激发被转移到邻近的状态，随后难以恢复到静止状态。

也许实现漫画可激发介质的最简单的动力系统是1D格林伯格-黑斯廷斯细胞自动机(GHCA)[25,26]。它的主要特点是，嵌入在静止状态之间的空间激励回路形成向一个方向传播的局部脉冲，并且这种局部脉冲的反向传播对湮灭，导致局部纯静止状态，参见图1a。通过将局部脉冲放置在任意位置，可以产生脉冲序列;它们将保持相对距离，直到可能的湮灭。事实上，GHCA的拓扑熵来自于由碰撞和湮灭的局部脉冲组成的非流浪集合的devaney -混沌闭不变子集[16,31]。从动力系统的角度来看，非漫游集具有素相关性，并且对于GHCA，它可以分解为具有不同波动动力学的不变集[31]。

初始数据具有四对脉冲和扭结/反扭结的GHCA脉冲位置a和(1)，b的(2)位置with的空时图;标记为相关的湮灭事件。在右面板中，时间被重新调整，使单个前锋具有与左面板中相同的单位速度。有关数字的详情，请参阅“附录C”。

然而，可激介质的建模主要是由抛物型偏微分方程及其系统完成的。一个范例是著名的FitzHugh-Nagumo (FHN)方程，该方程来源于神经轴突的Hodgin-Huxley模型[19,27,37]。先验地，对于任何这样的PDE模型，识别和描述类似于GHCA的脉冲动力学是一项艰巨的任务，即使在FHN中也远未完全理解。PDE动力学通常也更丰富且依赖于参数，例如，已经在数值上观察到脉冲的自复制[11,28]，以及碰撞时脉冲的反弹[38]。

在自然界和实验中，人们可以有效地找到离散和连续的可激介质。作为基本的例子，我们可以考虑，在离散的情况下，一组神经元在空间上排列在皮层中，而在连续介质的范例中，一个装有液体混合物的培养皿，用于Belouszov-Zhabotinsky反应。虽然激励的时空传播在结构上不同，但在两种情况下都可以找到特征传播波。其他的例子来自不同种类的神经轴突。髓鞘神经轴突具有髓鞘细胞的周期性序列，髓鞘细胞将轴突隔离，除了间隙，即兰维耶结。因此，这些形成(至少部分地)离散介质，而无髓鞘神经轴突形成有效的连续介质。此外，有髓神经的动作电位以整体更快的跳跃式传导传播，具有离散跳跃特征，而无髓神经轴突的时间过程实际上是连续的翻译。这些差异出现在前面提到的离散建模和连续建模中，根据具体情况，其中一种可能比另一种更合适。一个共同的特点是，动作电位的正面碰撞(通常)导致融合。我们参考[13,20]了解更多细节和进一步参考。

虽然任意局部脉冲序列的存在及其湮灭在GHCA中是微不足道的，但单脉冲在FHN中的存在性证明已经不是。众所周知，FHN具有同斜行波解，该解在空间上渐近于稳定静止状态，因此对应于GHCA中的单个局部脉冲;通过空间反射，运动方向可以反转。然而，局部脉冲的概念没有意义，因为扩散的空间耦合通过其无限的传播速度是有效的非局部的。脉冲序列在初始数据水平上的模拟是多个行波脉冲的叠加，这些行波脉冲彼此相距一定距离。在偏微分方程的动力学中，扩散率会立即将这些脉冲耦合起来，尽管是以一种弱的形式。在过去的几十年里，已经获得了许多结果，将这些“脉冲”的位置严格地与常微分方程组(ODE)联系起来[17,54]。然而，据我们所知，在pde的高阶方程或系统中没有关于激励脉冲碰撞的解析结果，最接近的结果是对于足够远的反传播脉冲对存在吸引不变流形[48,53]。对标量抛物型方程进行了简化;特别是，标量抛物方程的比较原理允许研究碰撞。我们注意到，能量方法也可以使用[51]，甚至对于四阶(不可激发)Cahn-Hilliard方程[49]。

本文考虑了适合于周期相位动力学的标量抛物型偏微分方程作为可激介质的模型，并研究了其与GHCA局部脉冲动力学的异同。这些所谓的振子相位动力学方程[8,41]由下式给出

（1)

为简单起见，我们指定非线性为，其中和被唯一地选择，以便尽管所有结果对于可激发的情况一般都有效[41]。更具体地说，直到对称，所提出的分析是相同的，这种情况与我们的目的无关，因为它只支持站在前面的解决方案。

方程(1)具有稳定的空间均匀状态，具有向右移动(反射后也向左移动)的行波解，且有速度。轮廓线渐近于，但圈数非平凡。这意味着在提升到时，剩余状态映射到序列，并映射到带有as和as的异斜前解。

我们注意到(1)中出现了其他波形，特别是脉冲(同斜)和波形(周期)，并且在向振荡行为的过渡()附近也可能出现其他相干结构[8]。然而，在简单的GHCA中，其局部动力学只有一个稳态，这些没有对应的状态。通过在GHCA中引入在局部规则中创建一个稳定状态和一个不稳定状态的亚阈值状态来建立关系是可能的。

f的选择明确地与(1)sin - gordon方程的过阻尼极限有关，对于某些具有破规对称的复杂Ginzburg-Landau方程，过阻尼极限也作为相场模型出现[2,eqn]。(91)]。按照正弦戈登方程的术语，我们把这些锋面称为扭结，把它们的左移空间反射称为反扭结。

在目前的情况下，我们认为这些对应于GHCA中的单个局部脉冲。因此，我们关注的是由扭结和反扭结序列构建的初始数据的演化，如图1所示。对于升力中任意给定的解u(x, t)，我们从几何上定义通过相位截距的潜在扭结和反扭结的位置集合为

（2)

很容易得到一个离散集。我们将讨论在何种条件下，该集合对扭结或反扭结位置也进行有意义的编码。其中一个关键因素是梯田理论。

粗略地说，阶地是有限多个锋面的叠加，每个锋面都是两个平衡点之间的异斜连接，这样这些锋面就会渐近分离，也就是说，任意两个锋面之间的距离会发散。据我们所知，术语是在[14]中引入的，尽管对于具有不同速度的锋面的概念已经存在于开创性的论文[21]中。从那时起，这个概念似乎是理解反应扩散方程解的长时间行为的基础。Poláčik在[39]中证明了在温和的假设下，在标量齐次半线性抛物方程的背景下，任何类似锋面的初始数据最终都会导致阶地剖面。这些结果被扩展到[36]中的局部初始数据中，从而得到了一对相反方向的阶地剖面。Risler在系统中[42]的梯度流动的更一般背景下独立证明了类似的结果。

当所有考虑的锋面以渐近不同的速度移动时，阶地剖面的行为，向它的收敛(例如，从类似锋面的初始数据开始)，以及它的稳定性都很好地理解，参见[33,39]和其中的参考文献。另一方面，如果两个连续的前沿具有相同的渐近速度，那么问题就复杂得多，因为最终的分离是由弱相互作用驱动的。在我们的背景下，扭结是向右移动的锋面，而反扭结是向左移动的锋面，它们的速度都是一样的。

因此，模型(1)适合与GHCA进行比较，因为它允许研究扭结与反扭结碰撞时的强相互作用组合，以及考虑连续扭结时的弱相互作用组合。然而，这一观察已经表明了多尺度性质，这意味着激励脉冲位置的长时间动力学存在根本差异。

我们非正式地总结我们的主要成果。适用于无界扭结-反扭结初始数据，我们证明了无界数据的全局适定性，并推断出几何位置集(2)由位于光滑曲线上的孤立点组成，除了可能发生碰撞。一方面，作为定性分析，我们依靠比较原理和粗略的轨迹位置，可以证明最小初始距离是距离的全局下界，并抽象地识别碰撞时间和位置。此外，作为远离碰撞的动力学模型，我们证明了在周期边界条件下相邻扭结的距离渐近相等，并且我们在数值上证实了这种信息丢失发生的范围更广。另一方面，作为定量分析，我们在弱相互作用域中导出了有限多扭结的ODE，并对其进行了详细的分析，扩展了上述定性平台的结果。我们的分析依赖于放大型奇异重标度，并将动力学识别为从属于无穷远处球面上的动力学，例如，这表明距离在有限时间内变得有序。后者再次暗示了动态过程中信息的丢失:初始距离的记忆被“冲掉”了。这表明GHCA的混沌动力学和基于位置动力学的熵复杂度由于PDE中的弱相互作用而降低，并且我们不期望仅基于位置的拓扑熵(在PDE中合适的意义上)类似于GHCA。

本文组织如下。在第2节中，我们讨论了位置和初始数据的概念。第3节专门讨论仅由扭结(或反扭结)组成的有界单调数据的定性和定量方面。在第4节中，我们重点讨论由扭结和反扭结组成的初始数据的湮灭过程。第5节考虑了无界初始数据，即无限多的扭结和反扭结，以及长时间的复杂性。最后，在第6节中，我们以一个讨论来结束。在附录中，我们收集了一些技术证明以及关于数值实现的说明。

2 扭结和反扭结及其位置

在本节中，我们将引入初始数据，这些数据包含扭结和反扭结的位置，这样，只要定义了u(t)，就可以定义(2)中的“位置”P(u(t))，从而始终变成有意义的单个位置。为了进一步讨论这个问题，我们首先更详细地讨论扭结和反扭结的概念。

上述状态被称为可激发，因为空间恒定数据的ODE具有稳定的静止状态和不稳定状态，后者作为经历“激励回路”的阈值，即一次绕组。因为这两个平衡点都经历了鞍节点分岔，且该微分方程的动力学是一个永久振荡。因此，我们在整个过程中固定了一个任意值。

速度为c的(1)行波解ODE，考虑为，由

（3）

基本扭结是前缘，即稳定态之间的异斜连接。它们在u中是严格单调递减的，并且通过相平面分析(例如，cf.[41])得出它们的唯一存在性(with)。因为，我们表示唯一的翻译，这样通过并注意到;基本反扭结是空间反射的平移。作为一个标量反应扩散方程，式(1)中的前沿，因此以及，都是轨道稳定的[21,46]。我们注意到，由于u的周期性，不存在连接和for的异斜轨道。

我们更宽泛地使用扭结和反扭结这个术语来表示连接偶数倍的单调片段。关于它们的位置，我们将(2)中的集合P中的元素称为几何位置，并将在2.2节中引入解析位置的概念。这些类型的位置通常是不同的，但是——正如将会展示的——长期的动态会导致较大的距离，而几何位置和分析位置将以指数的方式彼此接近。特别地，它总是以速度c运动的一个点。

如前所述，我们感兴趣的是序列扭结和反扭结的相对运动，它们类似于移位和的叠加。我们首先考虑由扭结或反扭结步骤构建的不连续初始数据，

值得注意的是，具有初始数据的解收敛于上述扭结，而具有初始数据的解收敛于反扭结。接下来，我们考虑初始位置

（4）

对于平移到这些位置的m个扭结和n个反扭结步骤

为方便起见，我们以这样一种方式进行平滑，使结果的几何位置与(4)中的位置一致。这可以通过用一个卷积来实现，该卷积由一个正的、对称的、平滑的柔化器支持，并且依赖于邻近的初始位置，例如For和相应的For。因此，我们设

（5）

可能有无限多的扭结或反扭结步骤。的几何位置与式(4)重合，即。

在下面我们省略了依赖，因为它们不影响结果。

2.1 Well-Posedness

我们考虑可能的无界初始数据，它特别地涵盖了无限多扭结或反扭结的情况。为了确保适位性，一种选择是考虑一些权重函数和Banach空间

定理1

对于f从(1)的初值问题

有一个唯一的解。

证明

该证明直接遵循当今的经典技术，我们参考里程碑专著[34]了解更多细节。让我们简单回顾一下主要步骤。将初值问题转化为积分方程，可由标准不动点论证推导出唯一解的局部存在性。为此，考虑由。定义的操作符

（6）

其中和为热核。此外，通过证明该解的Hölder连续性，引导论证显示了解在x和t中的平滑性。

对于有界向量场的ODE，由于T与初始条件无关，解的局部存在性可以推广为全局存在性()。

2.2 几何和解析位置

在确定了全球存在之后，我们转向立场的具体概念。首先我们注意到几何上定义的位置集合P(u(x, t;M, n))给出位置的局部光滑曲线如下:关于不同类型的初始数据的更多细节将在后面的章节中给出。

命题1

对于任意，，考虑定理1的全局解u(x, t)，初始基准如式(5)所示。对于任意集合P(u(t))是离散的，并且，如果，由至多个元素组成。对于集合P(u(t))由与初始位置(4)重合的可微曲线组成。而且，只要定义了任意两个这样的位置，在这两个位置之间的P(u(t))中的元素数量就不会增加。

特别是这个命题，至少在局部时间上，产生了明确的和有规律变化的立场;我们称之为扭结位置和反扭结位置。

证明

这个命题是线性抛物方程的零数性质的一个结果，见[4,45]的严格说明，我们将参考[40，§2.3]对下一个结果的说明。

设为解的空间导数。给定u，它解线性抛物方程，在u的最小值处得到v在局部唯一零处的符号变化。u为常数的区间出现在u的单调部分，因此与v的非平凡符号变化无关。

根据零数原理，存在这样一个函数，即v在(0,T)上有一个唯一的简单零，并且在(0,T)上有一个常数。此外，根据抛物正则性和隐函数定理，存在这样一个函数，即对于所有点这意味着集合P(u(T))对所有点都是离散的，并且，再次从隐函数定理，每个点都位于一条可微曲线上。

现在让我们来看这个例子Let是at的值。然后(例如，参见[50，定理4.4.2])

对所有存在，并且是初值问题的解

特别地，由于我们选择了初始条件(5)，可以得出这些极限是上述方程的常稳态。结合这个的符号性质证明了P(t)由至多个元素组成。

还需要证明P(t)的基数不增加。我们声称，如果存在这样的存在，那么对于所有这是极大原理的结果:设为初值问题的一个解

然后，取u为给定值，w在上解线性抛物型方程，由此得出结论，并给出证明。

特别地，对于具有单个平滑跳跃扭结初始数据的解，存在唯一的全局定义的几何位置。我们把它的速度记为。回想一下，单扭结速度用c表示，前面提到的对扭结的收敛结果为。

为了更详细地研究扭结或反扭结之间距离的演变，可以方便地定义以下解析位置，但这需要相邻扭结之间有足够大的初始距离()。

用常微分方程(“运动定律”)推导局域状态运动定律的更广泛任务至少可以追溯到Carr-Pego和Fusco-Hale对Allen-Cahn方程中亚稳态锋的研究，他们推导出锋的解析位置的ODEs，参见[10,18,21]。这已经在不同的方向上进行了探索，特别是在任意维度上的无限多个亚稳脉冲[54];我们主要遵循[17]和[43]。

这允许只对扭结或反扭结的序列，即单调初始数据，严格地推导出这样的ODE，因此我们将注意力限制在(5)与。由于在这种情况下，扭结初始数据的整体运动由速度为c的漂移主导，因此我们通过引入共动框架来考虑与该速度的偏离，该框架引入(1)右侧的项，并在覆盖空间中产生:

（7）

对应的解u(z, t)由定理1全局定义。我们将定义与几何位置相关的解析位置。

对于足够大的初始距离，解析位置由u(z, t)定义为

（8）

通过w上的正交性条件唯一定义，详见“附录A”。表示(7)的右边的线性化算子，和它的伴随矩阵。剩下的项w现在应该与伴随特征函数正交，也就是。

(9)

对于(5)中的初始数据，w最初是非零的，因此对于分析位置的研究，很自然地(尽管不是必要的)将其替换为前面，即(8)。然后和因此至少在短时间内保持小。为了在更长的时间内控制w，我们假设扭结最初是分离良好的，即。

备注1

对于(8)中的初始数据，该集合与初始位置(4)不重合，尽管在最小距离内误差呈指数级小。此外，对于，集合可能包含假点，因此通常需要假定与之间的距离最小。

备注2

对于任意固定的t和i，解析扭结位置等于(移位的)几何位置当且仅当，由式(8)可知。特别地，当且仅当w在所有几何位置同时消失时，所有几何位置和解析位置重合。然而，扭结最终相互排斥，即它们的距离最终增加(详见下文第3节)，这意味着两个定义渐近一致。

目录

摘要 1 介绍 2 扭结和反扭结及其位置 3.有界的莫 notone初始扭结数据 4 有界初始扭结-反扭结数据及其湮灭 5 无界扭结或扭结-反扭结数据 6 讨论 参考文献 作者信息 道德声明 附录 搜索 导航 #####

3.有界的莫notone初始扭结数据

在本节中，我们考虑由扭结组成的有界单调数据，并根据几何位置和解析位置分析相邻扭结之间的距离。我们注意到，通过空间反射，讨论同样适用于反扭结的有界序列。首先，我们通过比较原理跟踪几何位置，该原理适用于任何初始距离，但只将位置限制在一定的间隔内，称为间隙，这也取决于初始数据。分析位置提供了更具体的运动定律，这些定律可以立即应用于具有足够远位置的初始数据，或者更抽象地说，从某个时间点开始，我们只知道位置到间隙的位置分布。

后者依赖于Poláčik和Risler的结果，他们指出，类似锋面的初始数据收敛到一个平台，这个平台的速度收敛，距离最终发散，尽管没有定量估计。就我们的目的而言，这可以概括如下。

定理2

参见[39,42]设初始基准点为，解为u，则存在满足的函数

使得解收敛到对应的阶上:

备注3

在下面的命题3中，我们给出了距离的下界，当然这在渐近性中远非最优。人们可能天真地认为所有的距离都是单调增加的;然而，正如3.2节的结果和数值模拟所显示的那样，一般情况下并非如此，参见图4a、b。

为了描述扭结-反扭结湮灭下有界解的长时间行为，我们考虑了极限集。对于有界单调解，这已经在[39]中完成了——对于一个更广泛的设置——我们从那里得到了极限集的以下定义

且收敛于(局部一致收敛)。与极限集的标准定义相比，这允许观察图的任意有限块。对于定理2的特殊情况，集合由

（10）

cf。[39]。我们的结果增加了对和的描述，即使它们是(10)在扭结和反扭结成对湮灭后的结果。

3.1 定性方面:比较原则

设无反扭结的单调初始基准(5)，其整体解为u(x, t;n);根据命题1，这些位置是全局定义的且可微的。由于数据只有扭结，我们省略了上标' - '，并引入了以下符号来表示位置的速度，最近距离和最小距离(从给定位置开始):

(11) (12) (13)

还有……

等距问题。让我们首先考虑由等距反扭结组成的初始数据，参见图2，因为为了比较速度(11)，并因此找到距离(12)的统一下界，构造子解和超解是很简单的。

命题2

设为有初始基准的解，其中对于所有的常数。然后对所有人来说。特别地，最初所有的距离在t上都是不减小的。

在等距位置有四个反扭结的初始基准面(黑色)的草图，这样。蓝色的初始基准点是由位置给出的，而红色的初始基准点是由位置给出的。为便于说明，曲线分别在略下方和略上方绘制

证明

我们将考虑解u(x, t;K)表示初始位置为。的位置构建了一个适当的子集，其中包含的位置。我们比较扭结的速度，因此我们表示为，这里为了可读性省略了参数t;因此,。回想一下，我们用单个平滑跳跃扭结初始基准H表示解的速度，参见第2.2节。

我们首先证明这个命题。在这种情况下，初始数据被所有数据夹在中间。由比较原理，求出的解与，我们得为所有。由于两者以相同的速度运动，扭结的速度满足所有人。

对于，我们选择由反扭结组成的子解和超解(参见图2)。更准确地说，设为由相同位置的扭结组成的初始条件，为，为。比较解来自于初始数据

的扭结位置为和的扭结位置为。

因为它们是相互平移的，所以它们的位置在平移时相等，并且具有相同的速度。通过构造，从而根据比较原理得到了所有解。因此，我们可以将速度分别与和中位置的速度进行比较，从而得出所有位置的以下关系:

因此，for。通过迭代子解和超解的构造，并且，类似地，对于所有。

我们注意到，命题2的证明表明，在去除左边或右边的扭结时，存在速度等级。在边界相等的情况下，等距数据的扭结会扩散，扭结越多，传播速度就越快。

Non-equidistant问题。对于更一般的初始数据，只有总距离和最小距离可以通过我们的子解和超解的方法来控制:只能推断出距离的下界，直到植根于初始数据的“间隙”。在这些间隙中，相关位置和速度的顺序不能被这种方法进一步约束，参见图3。鉴于即将进行的基于解析位置的分析，这并不奇怪，因为距离可能表现为非单调的。

缺口示意图(已孵化):用于。相关的速度不需要排序。特别是，距离可能会增加或减少

命题3

对于任意初值，，的解都满足以下条件:

(14)

此外，如果对某些人来说，然后对所有人都是不递减的。特别地，是不减小的，至少只要最小距离是在与初始相同的索引上实现的。

证明

这个证明类似于命题2的证明。将u与单扭结作为亚解和作为上解进行比较，我们立即推断出。其次，在命题二的证明中，我们又用，并再用，如图三所示。根据比较原理，这意味着对于所有的关系，从上解得到，但是对于子解只产生对于j，使得关系。总的来说，我们得到，

因此。特别是，只要和之间的距离最小，但至少为。

由于这种对亚解和超解的使用受到所描述的间隙的限制，下一节的大部分内容将致力于从分析位置的角度对距离的行为进行更深入的分析。

模拟扭结距离(a)(带变焦(b))、位置(c)和速度(d)，从初始条件开始，有五个扭结和。从(a)和(b)可以看出，距离不需要是单调函数，而最终是有序的，参见3.2节。此外，扭结的速度收敛于单个前速度(d)。

3.2 数量方面:投影方案

上面的讨论，特别是命题3，给出了以相同渐近速度c行进的堆叠锋面之间相互作用的第一个定性概述。本节的目的是更深入地了解锋面位置的相对运动规律，然而，这只适用于足够大的距离。如第2.2节所述，我们采用了一种方法，该方法是在[10,18]中对Allen-Cahn方程锋面的元稳定性分析中发展出来的。

回想一下(8)和(9)中分析位置的概念，以及表示

初始数据(8)与形成嵌套的n维流形(与)

定理2表明扭结相互作用最终是排斥的，这可以理解为对任意的渐近稳定性。在本节中，我们将证明，对于任何足够大的n维不变流形，参数化，并研究其上的约化动力学。此外，对于初始数据是全局吸引的，如定理2所示。特别是，如果初始几何距离足够大(图4)，任何具有几何位置(5)初始数据的初始基准都包含在其吸引力盆地中。

这一分析基于以下结果，可以从[17]中推断。虽然后者并不是像他的论文那样专门研究堆叠锋面，而是脉冲，但我们的情况可以用完全相同的方法来处理。

我们重新表述了我们在我们的符号和我们的目的中使用的结果，并特别参考[17]中的定理2.1,2.3和4.1进行证明。我们还在“附录A”中提供了一些更多的细节和简化ODE系统的推导，以缩小与[17]的差距。

基本的观察结果是在这样的邻域中有如下众所周知的分解，它很容易从隐函数定理中得到，参见“附录A”。这里我们考虑的邻域定义为。

引理1

存在这样的条件，对于任何，存在唯一且唯一的函数满足

（15）

我们注意到引理1与适位性的直接推论。

命题4

对于(7)的任意解u(z, t)其初始数据在我们有并且存在唯一函数使得(8)和式(9)对所有解都成立。

特别地，第(5)项中有足够大的初始条件，因此命题4也适用于这些初始条件。

在分解(8)的基础上，下面的命题(结合了[17]的结果，参见“附录a”)给出了相对运动的定量描述，作为解析位置的简化ODE，与运动定律相关的是(3)在渐近状态下线性化的特征值，我们很容易确定为

（16）

回想一下f的周期性，注意

命题5

存在这样一个包含n维指数吸引的局部不变流形，它是一个图，在修正方面满足(15)。(7) on的n维化简动力学由以下常微分方程组给出，定义为，其中，为函数;此外。

（17）

对于某个常数，余数项和修正项满足，

（18）

备注4

注意，我们并不是说对所有项都是这样，这意味着剩余项和w与指数率为的-项相比，不一定是高阶的。

在本节的其余部分中，我们将更详细地分析(17)，并特别推断，如果初始距离足够大，则所有的有效性约束都满足。这当然与定理2是一致的，而且定理2还暗示所有具有一定初始数据的解最终都满足(8)、(9)并服从(17)。

定理3

对于(7)存在这样的前向不变量。特别是，分解(8)，(9)和ODE(17)对所有都有效。此外，对于定理2中具有初始基准的任意解u(z, t)，存在这样的。

证明

证明在3.2.4节中给出。

(17)的分析通过规范化和设置，方便，使(17)的形式为

(19)

其中，是有界的。注意，由于最小函数，一般只有Lipschitz连续，乘积是光滑的。为方便起见，我们将它们的定义域扩展到有界上的光滑函数。

我们的目的是分析距离的时间顺序和渐近性。为此，我们把系统(19)看作是系统的一个摄动，我们称之为无摄动系统。

3.2.1之上无扰动距离系统

对于无扰动系统，即系统，

（20)

我们直接得到，最右边的距离在增加。此外，距离增加当(且仅当)，即，当第j个扭结与其左邻结之间的距离小于其右邻结之间的距离。特别是，在时间上的最小距离增加。这引发了一个问题，即距离是否最终是有序的，以及这种有序隐含了哪些渐近性。

定理4

对所有人来说都存在这样的东西。此外，对所有人来说。

证明

让我们先用n的归纳法证明距离的散度。假设这个命题对某些人成立，而对某些人成立。当t足够大时。因此，收敛，因此，因此，与归纳假设相矛盾。

至于最终的排序，我们首先证明存在一些这样的东西，对所有的东西都是如此。为了达到这个目的，我们可以矛盾地假定，对于所有的人来说，都存在着一些共同的东西。根据距离的散度，存在。由于单调递增，这意味着它与-nullcline无穷次相交。然而，这是不可能的，因为集合是前向不变的。特别是，如果是对某些人，那么就是对所有人。类似地，存在与所有。同样，对于所有剩余的距离对，存在一些合适的时间。设置结束了证明。

为了在摄动系统中得到与定理4类似的结果，我们首先利用极坐标爆破变换对问题进行了重新表述;这使我们能够应用摄动论证。

3.2.2 极地放大

代入式(19)，设为方程组

它具有非双曲平衡。和的极坐标爆炸变换产生

(21)

其中，即，对于每一个t，有j满足。注意平衡对应于。内积为

(22)

在哪里。将式(21)中的式(22)与式(21)中的式(22)结合，我们可以在两边同时除以r得到

将右手边除以r，得到去具体化的径向方程和角方程

(23) (24) (25)

其中，与(22)具有相同的轨迹，其解通过时间重标度相关联。

与(20)类似，我们将系统(23)-(25)视为集为零()的非摄动极系统的扰动，即(23)-(25)中的零误差项，这意味着

(26) (27)

我们注意到，在极坐标中观察到无穷远的方向对应于在z坐标中到原点的方向。事实上，在这些方向和球面上的点之间存在一个双射，这些点在放大的z坐标中具有非负坐标。在z坐标上，附近的实投影流对应于球面这部分的上述流，这可以与格拉斯曼线性动力学有关，即对于渐近大距离。然而，我们在这里不追求这个观点;引用感兴趣的读者，例如[24,32]及其参考文献。

3.2.3 无扰动极系统，第一部分:径向和角动力学

因为所有距离都是正的，所以我们考虑球面的正坐标部分，

关于这一点，下面的观点是成立的。

命题6

上。更具体地说，索引是for和for。

注意，索引是存在的，因为它不会消失。

证明

重写为并设置为一个函数in，其参数的最小值(在[0,1]上)为，即。因此,

(28)

因为是递归得到的，

引理2

对于所有人来说，存在着这样的东西。

证明

如果，我们有。选择足够小的，我们得到。这个和命题6一起，通过矛盾暗示了第二个陈述。

因此，在无扰动ODE系统中，距离的距离是有界的。

命题7

(20)的解满足和as。

证明

距离最终是有序的(参见定理4)，因此对于大。为了证明有界性，假设。然后,。但是，根据引理2，对于大的。

3.2.4 有限公司扰动极系的后果

现在我们回到(23)-(25)系统。在球面上(即为)，角方程(24)和(25)与未扰动的极系统(27)的角方程一致。同样，在球体附近(即为)，径向动力学(23)由径向项主导，参见(26)。这允许一个摄动论证，从中可以推断出受摄动系统中的距离发散。

定理5

对于(19)的所有解，定理4和命题7的陈述都成立。特别地，存在对(19)的所有解都成立的条件。

请注意，这和命题5一起，特别暗示了定理3。

证明

对于无扰动极系统(26)-(27)，是一个流动的通常双曲不变流形(cf.[29,52])，因为截线特征值是严格负的，cf.命题6，并且由于引理2，边界是排斥的。通过这种不变流形的鲁棒性，对无扰动和有扰动的极系统具有非平凡的局部吸引盆地(23)-(25)。定理4表明具有角初始数据的非摄动系统的任何解在有限时间内进入，因此，如果初始距离足够大，则对摄动系统也成立。因此，这些解收敛于。最后，参考引理2，这个性质同样是结构稳定的，因此对摄动的极性系统仍然有效。特别地，这个性质意味着所有距离都是发散的。

在不损失一般性的情况下，我们可以选择在无摄动系统中的n维局部稳定流形中，我们将其写成，因为是平凡参数化的。现在，对于受扰动和未受扰动的极性系统，分别由一维强稳定纤维片理，

(29)

它们是两两不相交的在它们的基点上相交。对于受扰动和未受扰动的极性系统，基点的动力学由式(27)给出，但纤维一般是不同的。

关键的一点是，(26)-(27)和(23)-(25)的流量都从属于基点流，这样受扰流就继承了所声称的未受扰流的特性。更具体地说，设为(27)的解。然后，受扰动和未受扰动的流体将各自的纤维映射到各自的纤维中;使用叶理(29)作为球体附近扰动系统的局部坐标，基流(总是相同的)与横向纤维流解耦，而横向纤维流在扰动和未扰动之间是不同的。

由于基点流导致了未扰动极系的最终距离排序，参见定理4，从化意味着对扰动系也是如此(19)。其余的主张类似地遵循。这些暗示着有这样的东西严格地生长，这暗示着一个所谓的存在。

3.2.5 无扰动极系统，第二部分:局部稳定性

本文对无摄动极系统的动力学进行了进一步的研究，证明了系统中存在一个唯一的平衡点，并且该平衡点是局部指数稳定的。为了说明，让我们首先考虑最简单的情况和，参见图5。

对于，系统(27)，with，读取

让我们先假设这意味着一个平衡。如果，那么，因此，和产生两个平衡。因为我们找到了两个平衡，最后两个。总的来说，系统有平衡。

因为，情况已经有点复杂了。我们有并且需要根据零坐标的数量来区分以下不同的情况，每种情况都给出一对均衡:

1. (i)

2. (2)

3. (3)

总的来说，系统有平衡。

对于一般情况，以下几点成立。

8号提案

因为，系统(27)具有平衡点。具体来说，有(i) 2n个恰好有一个非零成分的平衡(因此)和(ii)具有非零成分的平衡。

证明

设和表示维数为n的平衡点的数目。首先注意，对于平衡点的含义是(27)。因此，意味着，相邻的非零项构成一个序列，其中。因此，两个非零坐标之间的中间零坐标会产生一个三元组。

因此，如果，维数平衡随指数的移动而发生;这特别地包括了向量，对于某些和零坐标。用by表示剩余平衡数。通过上面的讨论，是在不同(特别是包括)的位置上有零项的可能性的数量。这个数由。

所有在一起,

根据前面的引理，只有非零坐标的唯一平衡点由式给出，其中。

的局部稳定性。在下面，我们将重点讨论，因为对于摄动ode系统中距离散度的问题，这是唯一相关的渐近状态。事实上，我们期望它是一个全局吸引子，这可以通过和的模拟来说明，参见图5。然而，似乎很难在一般情况下严格证明这一点。相反，通过在E中线性化(27)并确定雅可比矩阵的特征值，我们证明E是局部稳定的。

定理6

平衡点E是局部指数稳定的。E中线性化的特征值由。对于中的完全无摄动极系统，E具有横向到张成的不稳定本征方向，具有相应的本征值。

证明

有些冗长的证明在“附录B”中给出。

a和b的相图和平衡E(标记为红点)。为了更好的可见性，相位肖像仅限于上半球。正如这些模拟所表明的，对于这些情况，E是一个全局吸引子

4 有界初始扭结-反扭结数据及其湮灭

在讨论了纯扭结或反扭结初始数据之后，我们现在转向由扭结和反扭结组成的初始数据，即带有和的初始数据(5)，参见图6进行说明。在这里，我们将自己限制为有界数据，并考虑第5节中的无界情况。我们的目的是推断关于各自的内部扭结和反扭结的位置相互湮灭的过程的信息。

初始基准面草图(5)与

4.1 毁灭的过程

在这种情况下，相等数量的扭结对和反扭结对在解收敛于由初始数据的渐近状态给出的剩余状态的意义上完全湮灭。

命题9

设初始数据(5)为。，其中收敛性是一致的。特别是……

证明

考虑具有初始数据的子解:纯扭结或反扭结序列，分别由的扭结或反扭结位置构建。根据定理1.1[39]，扭结和反扭结分别以均匀的正、负速度运动。比较原则暗示了这种主张。

下面的命题更详细地描述了相应的湮灭过程，表明扭结-反扭结对按照直观的预期从“下到上”依次湮灭。

命题10

设初始基准(5)，其解为u(x, t)，则存在唯一的时刻，使得，，即依次最内层扭结与反扭结在这些时刻发生碰撞。而且，有一些唯一的时刻，使得，在这些时刻，最内层的扭结和反扭结依次湮灭。

为了简化我们设置的符号。

证明

如命题1的证明所示，对于所有解u(x, t)在with上单调递减，在with上单调递增。与命题9一起，这表明这两个位置分别在某个唯一的时间发生碰撞，即，对于;因此，存在只是为了。特别是……类似地，我们确定湮灭时间。

接下来，我们证明了在最内层扭结-反扭结对的湮灭过程中，剩余扭结(反扭结)之间的距离满足一致的下界。

命题11

设u(x, t)为上述初始条件的解。则，和if是这样的指标，即只要定义，则是非递减的，即，分别。特别是对所有人。

证明

由于反射对称，它足以证明情况' + '的主张。在命题3的证明中，我们构造了初始条件，其对应的解是表示最小距离不减小的子解和超解。在本例中，可以使用相同的子解。然而，我们不提供超解，而只提供超解，因为在点上是最小的，并且只能在点上大于u(x, t)。这些主张现在是从命题3的陈述中得出的。

假设湮灭后产生的扭结或反扭结之间的最小距离可以用作下界，这是很诱人的。然而，似乎很难构造上解和子解来证实这一点。

现在让我们转到初始数据具有不等数量的扭结和反扭结的情况;不失一般性。在这种情况下，第一个最内层扭结-反扭结对湮灭，扭结或反扭结的堆叠前缘在一段有限时间后仍然存在。

命题12

设为具有和的初始数据(5)。扭结和反扭结在10号提案的意义上碰撞和湮灭。并且，极限集由

证明

在m个最内层扭结-反扭结对的湮灭过程中，u(x, t)趋近于。与此同时，剩余的扭结的距离由第11号提案从下到下限定，这意味着解决方案可以任意接近传播平台。由于是一个稳定的稳态，解u(x, t)收敛于一个传播平台，[39，定理1.1]推导出该命题。

具有局部最大值和解的初始基准面示意图(红色)。建立局部极大值的扭结和反扭结不能发生碰撞

为了获得更完整的图像，让我们简单地考虑由扭结和反扭结对构建的局部极大值的初始数据，参见图7。对于具有足够大的扭结和反扭结距离的每一个这样的极大值，可以用相平面分析法构造方程的平稳子解;这表明扭结和反扭结不能在局部极大值处湮灭，而只能在前面描述的局部极小值之间湮灭。特别地，极限集和完全由最大值之间的数字m和n决定。

5 无界扭结或扭结-反扭结数据

用来说明信息丢失的模拟()。a在初始扭结距离中编码的信息在(b)中被局部“洗去”，与(b)中绘制的由传入扭结引起的三次“快速”湮灭无关。在这里，初始基准仅由反扭结组成，传入的扭结是在稍后通过改变边界值人为地产生的;这避免了令人望而却步的膨胀数值，因为人们可以使用一个小的空间域来捕捉缓慢的弱相互作用和更快的脉冲运动。有关实现的详细信息，请参阅“附录C”

无界初始数据与元胞自动机GHCA的动态比较最为相关，例如其非游荡集动态和拓扑熵。然而，对于无界数据，一些有用的结果不能直接应用，例如[39]中关于梯田的结果。

然而，零数论证仍然适用(满足[4,p. 80]的增长条件)，因此我们很容易推断出命题10的类似情况:我们可以重复选择由有限扭结-反扭结对组成的初始数据作为子解，并获得严格增加碰撞和湮灭次数的无限序列。

然而，(1)的数值模拟(提升到)，参见图8,9，表明距离随时间渐近平衡。因此，远离最终碰撞的初始距离信息编码会随着时间的推移而丢失，被“洗掉”——至少在初始数据的规模上是这样。事实上，这与我们在单调数据和大初始距离的分析位置动力学上的结果是一致的。因此，正如扩散引起的弱相互作用所怀疑的那样，我们不能期望具有无界初始数据的(1)的熵和动力学直接类似于GHCA。

我们首先通过考虑周期边界条件证实了无界初始数据的距离平衡，并证明了所有解局部一致收敛于等距阶梯。其次，我们讨论了基于位置动力学的复杂性度量的含义。

5.1 周期边界条件

等距扭结(和类似的反扭结)的无界叠加由均匀距离参数化，并将问题转化为周期边界条件下的边值问题，直至相位旋转。

在周期边界条件下用pde2path冻结法模拟a扭结距离和b对应解，参见“附录C”。初始基准收敛到等距状态

更确切地说，对于给定的和，我们考虑初边值问题

并在下面的命题15中证明(30)的解收敛于一个唯一的等距阶梯上。

为此，我们首先考虑行波解，并重点研究以下边值问题，其中。

第13号提案

对于每一个三元组，边值问题

有一个唯一的，单调递减的解u。且存在一个唯一，使得(31)对应的唯一解u另外满足。这是由

在哪里。特别是……

我们注意到，这种情况基本上包含在[41,Thm 3.5]中。

证明

下解和上解分别由和给出，表明解u的存在性。应用定理1.4[5](“滑动法”)，结合极大值原理，可以得到该解的单调唯一性。

并且，该唯一解(i)连续依赖于a，且(ii)对a的依赖性是严格递减的(即如果，则in，其中和是(31)对应的解，参见推论5.1[6])。根据引理5.2[6]，可以推断(iii)和(iii)在x中都是一致的。(i)-(iii)项共同暗示存在唯一解u和唯一解，使得。

对于和它的渐近性，将式(31a)乘以积分得到

Where是用的。我们得到。根据柯西-施瓦茨不等式，

因此。

备注5

由于f是-周期的，对于边界条件和，这个表述显然仍然成立，解是;特别是(30c)， (30d)保持。我们还注意到，对于非线性f。

下面，我们重点研究(31)对应于这个三元组的唯一解u。由于其附加属性，它是本节目的相关解决方案。作为前一个命题的结果，它的形状是由以下意义上的单周期解决定的:特别是u中的所有扭结都是等距的。

14号预选提案

设u表示(31)的唯一解它对应于这个三元组。则u由与对应的(31)解的j个空间位移和相位旋转的副本组成。特别地，u有时间周期。

证明

我们把这个区间分成j个宽度的区间，其中。特别是，和。在每个区间上，我们考虑一个空间位移和相位旋转的版本，它们在边界处由于导数相等而共同构建一个解。更准确地说，设为的空间位移到最右的区间，对于set

因此，函数U被定义为，并且用和求解(31)。根据命题13的唯一性结果，可以得出and，特别是and。通过构造U，同一命题意味着since for all。

建立了问题(31)的唯一解，然后证明了(30)的解在以下意义上收敛于这个解;在不失一般性的前提下，我们选择并考虑连续初始条件。

命题15

设u为rm(30)的解，对某点有初始基准点。则，的极限集由(31)的唯一解所对应的轨道组成。

证明

这基本上是[22，定理1]的结果，它通过提供平稳解和周期解之间的二分法来表征极限集。然而，为了应用这个定理，我们需要将(30)转化为具有周期边界条件的问题。

为此，我们考虑把问题转化为

在哪里。特别地，式(30)和式(32)的解之间存在一一对应关系。表示与(31)相关的唯一解。由于是(32)的周期解解，因此上述二分法暗示由与W相关的周期轨道组成，反变换证明了这一说法。

注6

前面的命题表明(30)的解局部一致地收敛于(31)对应的唯一解的(一些平移)，即扭结成为等距的，参见图9。对于一维半线性热方程(包括其他类型的边界条件和非线性方程)收敛性的一般分析，我们参考[1,12,35]和其中的参考文献。

5.2 复杂性的考虑

在-方程中考虑扭结-反扭结动力学的动机来自于我们对GHCA及其(拓扑)复杂性的分析[31]。对这种复杂性的理解主要依赖于对GHCA的观察，即拓扑熵的原始和某种程度上抽象的定义[3,7]可以通过考虑更简单但等效的定义来证实。在这方面，一种组合方法是计算有界时空窗口上可能实现的动态的数量，其中，并确定随着这些窗口的大小增加的指数增长率[16,31]。另一方面，对非游荡集的分解表明，拓扑复杂度完全由由反传播脉冲组成的双无限组态组成的不变子系统决定;

(33)

其中为长度为0的块，表示局部脉冲，即分别在ca动力学下向右和向左移动的块。因此，对GHCA的拓扑复杂性进行编码的更合适的方法依赖于通过定义一个适当的同胚来构建拓扑共轭，该同胚以碰撞位置和时间对的形式将反传播配置映射到碰撞序列的可接受序列。

我们强调，这两种确定拓扑熵的方法的一致性至关重要地基于GHCA的特定动态和拓扑设置，而远非一般有效性。

然而，对于-方程，跟踪几何或解析扭结和反扭结位置提供了扭结-反扭结初始数据到碰撞序列的映射，从而允许与具有编码复杂性的GHCA的数据进行比较。因此，对扭结、反扭结和扭结-反扭结初始数据的位置动力学的洞察是至少对动力学潜在复杂性的第一次启发式洞察的先决条件

正如我们已经表明的，有限的初始数据给出了这类有限的序列，但是对于不相等数量的扭结和反扭结，在最终碰撞后的位置动力学仍然是非平凡的。这最终会在指数级缓慢的时间尺度上发生，阶地的距离最终会发散，参见命题2-3，因此我们不期望对任何基于位置的复杂性度量有重大贡献。基于我们的距离下界和大初始距离的ODE可以进一步证实这一点，这严重限制了位置，因此先验地降低了基于位置的复杂性。这种亚稳态慢动力学已经发生在碰撞前，因而改变了初始位置和碰撞顺序的关系。然而，这是对任意n个固定数目的初始扭结和反扭结的扰动，我们推测这可以通过初始位置的扰动来补偿。

相反，上述关于距离平衡的结果强烈表明，对于无界扭结-反扭结初始数据，这不再成立。虽然(半)无界扭结或反扭结数据的动力学类似于GHCA(半)无限脉冲配置的纯移位动力学，但无界扭结-反扭结数据的动力学与GHCA的无限反向传播脉冲的动力学相似，直到上述“晚期”碰撞的距离平衡。

为了直接比较GHCA在位置上的复杂性，一个更具体的问题是，是否可以通过适当的初始扭结-反扭结数据来实现GHCA的任何给定的可接受的碰撞位置和时间序列。更具体地说，让我们分别表示具有脉冲位置(向右移动)和(向左移动)的形式(33)的配置，它实现了给定的碰撞点和时间序列。一方面，如果我们选择扭结和反扭结位置完全相同，通常不能期望观察到给定的碰撞位置和时间(参见“洗出”，图8)。另一方面，这并不排除可以从修改的初始扭结和反扭结位置获得具有适当比例因子的时间重标序列的可能性，特别是因为距离平衡是大距离下的现象，即:不仅仅是碰撞。这表明，为了严格分析这些方面，需要更多关于位置动力学的一般定量知识，包括较少的限制性初始数据。

6 讨论

受格林伯格-黑斯廷斯元胞自动机(GHCA)作为可激系统的一种讽刺的研究启发，在本文中，我们考虑了描述振荡相动力学的-方程，作为可激介质最简单的PDE模型。由于GHCA的非游荡集本质上是由一定的激励脉冲序列组成的[31]，因此我们重点研究了这些数据在由扭结和反扭结组成的-方程中的模拟。此外，在GHCA中，拓扑熵可以与扭结-反扭结碰撞相关联。因此，我们分析了有界和无界扭结-反扭结初始数据的动力学，包括纯扭结和反扭结数据。为此，我们定义了扭结和反扭结的几何和解析位置，前者用于有界和无界数据的定性分析，后者用于有界单调数据的定量结果。对于有界初始数据，阶地理论表明，直到空间反射，-极限集确实基本上由弱相互作用的有限扭结序列组成[39,42]。

至于定性分析，我们已经证明了几何位置的集合是定义良好的，并且由位于光滑曲线上直至碰撞的孤立点组成。利用比较原理，我们揭示了最小初始距离是距离的全局下界，并且可以抽象地跟踪碰撞时间和位置。作为远离碰撞的无界数据的模型，我们考虑了具有周期边界条件的单调数据，并证明了初始距离渐近平衡。因此，在这些距离中编码的信息随着时间的推移而丢失，这表明对于PDE，与GHCA相反，不能期望单独基于位置的类似拓扑熵。

作为定量分析，对于有界单调数据，我们导出了弱相互作用区内扭结(反扭结)解析位置的ODE。通过爆破型奇异重标和摄动论证，我们证明了动力学服从于球动力学，距离在有限时间内变得有序，并最终发散;同样，这包含了初始距离方面的信息损失。

结合比较原理和弱相互作用理论，揭示了偏微分方程中的扭结-反扭结碰撞动力学是一个多尺度问题，而非单尺度问题。快速时间尺度本质上是由单个扭结的速度决定的，而慢时间尺度源于“尾巴”相互作用，它在扭结(或反扭结)距离上呈指数级缓慢。

为了将这些方法结合起来用于无界数据，研究[54]的方法是否可以用于允许无限多的扭结(反扭结)以证明位置的ODE，以及[9,47]的方法-需要不同的扭结(反扭结)速度-是否可以适用于从扭结-反扭结初始数据导出非单调解的运动规律，这将是很有趣的。这可能允许估计适应于PDE上下文的复杂性度量，从而量化慢弱相互作用对快速碰撞动力学的影响。

关于PDE系统的可激介质模型，如著名的FitzHugh-Nagumo方程，有两个主要问题。首先，激发脉冲之间的相互作用不再需要是纯粹的湮灭，而可以实现反弹甚至脉冲复制[11,28,38]。其次，虽然弱相互作用理论可以推广到系统，但比较原理不能。然而，启发式结论扩展到这种情况:弱和强相互作用产生多尺度问题，扩散以非平凡的方式影响无限多个脉冲的位置动力学，从而影响位置复杂性。

最后，我们提到在Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程中，比较原理已经被能量方法所取代[49,51]。然而，典型的可激发介质的PDE系统似乎不具有可以利用的能量结构。

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