最大的自然数是多少?通过使用“自然”这个词，我已经排除了你简单地回答无穷大(∞)来破坏猜字游戏的可能性。但即使我们允许无穷大的值，这个响应也会引起问题。∞+ 1∞2或者∞∞呢?如果人们对最大自然数的问题给出这些答案，谁是对的?
答案是没有人，因为无穷大不是一个遵循通常计算规则的普通数字。例如，数轴是无限的，不管你是从-∞，0还是1开始。因此，像∞+ 1这样的语句是没有意义的。此外，即使无穷值也有区别:无穷并不总是等于无穷。因此，在大数竞赛中，无穷大并不一定是赢家。
人类花了几千年的时间才意识到这个想法，并把它变成了一个简洁的理论。19世纪末，数学家乔治·康托尔通过对数量及其大小的思考，为数学上的无穷概念奠定了基础。例如，{1,2,3,4}和{x, y, z, q}都由四个元素组成，因此大小为4，专家称之为“基数为4”。
自然数{0,1,2,3，…而另一方面，则包含无限多的元素。我们可以把1加到任何自然数上;结果也是一个自然数。如果我们现在看所有偶数{0,2,4，…}，我们可以假设它只有它的一半大——毕竟，它只包含每一秒钟的自然数。但康托尔认识到这两个集合(自然数和偶数)具有相同的基数。
匹配集与可数无穷
正如我在另一篇专栏文章中所讨论的那样，康托尔在比较两个集合的元素时得出了这个令人惊讶的结果。如果你想知道一个集合a(例如，公共汽车站上的人)是否正好和另一个集合B(公共汽车上的空闲座位)一样大，你可以把B中的一个元素分配给a中的每个元素。如果最后还有人站着，那么a就比B大。如果另一方面，还有空闲座位，那么B一定比a大。
但如果你能给每个人只分配一个座位，那么这两个集合的大小完全相同，因此具有相同的基数。这样，康托尔也研究了无限集的基数性。例如，您可以将任何自然数映射为恰好一个偶数，例如，通过形成对(0,0)，(1,2)，(2,4)，(3,6)，…， (n, 2n)。地图绘制得很准确。最后既不留下自然数，也不留下偶数。因此，两个集合包含相同数量的元素。
这里出现了一个重要的教训。当涉及到无限的时候，不要跟着你的直觉走。这些想法很少是凭直觉的。
不仅自然数和偶数的基数相同，映射两个集合的技巧也可以应用到其他示例中。例如，所有奇数的集合与所有自然数的集合大小相同，所有整数(包括负值)、素数和偶数有理数(包括分数)的集合也是如此。对于这些集合中的每一个，都存在一个映射，该映射唯一地赋值一个自然数{1,2,3，…}赋给每个元素。这意味着你可以——至少在理论上——对这些集合的元素进行编号(如果你有无限的时间和空闲)。
最小的无穷得名于这个事实。自然数的基数被称为“可数无限”，并被表示为0(称为“aleph 0”)。所以与其让答案是“无穷大”，不如让答案是“无穷大”。
到目前为止给出的集合都具有相同的基数。但实际数字打破了这种模式。如果除了有理数之外，还允许无理数，比如2的平方根、pi或chaittin常数，那么这个集合就会突然变得非常大，以至于您无法再枚举它的元素——即使这个列表是无限长的。
实数的无穷性超过自然数
康托尔用他的第二个“对角线论证”证明了这个事实。这是一个反证法:你从存在可数无限实数的假设开始，并从这个想法推导出一个矛盾的陈述(即，“不可能存在可数无限实数”)。
要继续，您不必考虑所有实数。假设0到1之间的所有实数都是可数的就足够了(我们很快就会看到，这是错误的)。
因此，您可以将所有这些值写成一个无限长的列表，一个在另一个的下面。例如:
0.32476834567854765……0.84737834527845745……0.78347864586745768……0.78347863763547879 ... ...
列表如何排序并不重要。唯一重要的是它是完整的。如果我们真的可以数出所有的值，那么我们的列表必须包含0到1之间的所有实数。但是康托尔证明了他可以在0到1之间构造另一个不出现在列表中的数字。
他是这样做的:新数字的第一个小数点后加1对应于列表中第一个数字的第一个小数点后加1，即上面例子中的4。小数点后第二位是通过计算第二个数的小数点后第二位加1得到的，即5。对于第三个数，将第三个数的小数点后第三位加1，以此类推。(如果你击中9，你可以将值更改为0。)
这样，就得到了一个小数点后无穷位的无理数。它不会出现在列表中，因为它总是与列出的每个数字至少相差一位。因此，这个列表不可能是完整的，这与最初的假设相矛盾。因此，康托尔可以得出这样的结论:存在“无数”实数。
一个可证明的不可证明的假设
除了自然数的基数≤0之外，至少还有一个(不可数)无穷大——在寻找最大的数的竞争中，它可能是比≤0更好的选择。
实数的集合有多大?康托尔在研究是否存在一组比自然数大但比实数小的数时也问了自己同样的问题。由于没有发现这样的集合，这位数学家在1878年提出了他著名的“连续统假设”。它说明没有集合的基数介于自然数和实数之间。
但是康托无法证明他的假设——其他人也不能。事实证明，连续统假设属于我们基本数学框架之外的陈述。它们是可证明的不可证明的:你既不能用通常的数学方法证明也不能证伪这个猜想。(Kurt Gödel在1931年证明了在每一个有意义的数学公式中都存在这样的不完备性。)
换句话说，你可以假设连续统假设为真，并且永远不会遇到矛盾。然而，相反地，您可以假设自然数和实数的基数之间存在其他无穷大，并且也不会遇到问题。这对数学家来说并不是特别令人满意。毕竟，我们讨论的是实数的大小——没有人知道存在多少这样的值。作为回应，一些人试图扩展这门学科的基本框架，从这个更大的理论中推导出一种工具来证明或反驳连续统假设。
专家们在这方面决不是团结一致的。数学的基础，“Zermelo-Fraenkel集合理论”，由九个未经证明的基本命题(所谓的公理)组成，它们构成了整个学科的基础。为了找到一组合适的公理，我们进行了几次尝试，因为它必须满足几个要求。这个集合应该有尽可能少的公理，它们应该直观地为真，不要太复杂。其他的例子还有空集公理，它说明一个没有元素的集合存在，以及配对公理，根据这个公理，两个具有相同元素的集合相等。
Zermelo-Fraenkel集合理论的九个公理(连同选择公理)足以建立我们所知道的数学。但是连续统假说回避了他们。为了更详细地研究实数的基数，您必须扩展当前的集合理论，以包含其他基本陈述。例如，你可以将“连续统假设为真”这一命题附加到公理组中。然而，这不是一个好的公理。与其他陈述不同的是，为什么这一陈述是正确的并不是直接明显的。
因此，专家们正在寻找其他直观正确的公理，并可用于研究连续统假设。已经有一些很有希望的候选人——一些人会证实康托尔的猜想，而另一些人会反驳它。如果有的话，哪一个扩展版本的集合论会占上风，还有待观察。只要这种情况存在，存在多少实数的问题就没有解决。
尽管这仍然是个谜，但人们早就知道，有些集合的基数比实数集合的基数大得多——尽管实数本身是无限的。如果你想赢得最大的数字游戏，你应该去追最大的无穷大。
这篇文章最初出现在《光谱》杂志上，并经许可转载。
