摘要
研究了狄拉克波算子边值问题解的局部和全局性质。这包括显式公式、依赖域、影响范围、有限传播速度和能量估计。我们还引入了狄拉克波齐次多项式的空间和相应的狄拉克波共轭函数。
1 介绍
从PDE的基础课程中我们都知道，波算子或达朗伯算子的边值问题(BVP)的解具有显式公式、依赖域、影响范围、有限传播速度和全局属性能量估计等主要局部性质。另一方面，我们还记得波算符的基本解不是，这对它们解的正则性有重要的意义。特别地，点上的奇点沿着特征锥传播并聚焦于其顶点。
狄拉克-波算子是clifford代数中的一阶线性算子，其系数与波算子有关。对于狄拉克波算符的BVP解，我们将给出与上述波算符类似的性质。这是对波算符进行复杂分析的第一步。我们还将给出相应的波共轭函数及其希尔伯特变换和满足狄拉克波算子的齐次多项式空间。
David Eelbode和Frank Sommen先前的作品计算了双曲空间上狄拉克波算子的基本解[1,2,3]，参见Rosen[4]第9章。就像我们说的，我们会对解的局部和全局性质感兴趣。我们指出双曲算子的解与椭圆算子的解的性质有很大的不同，狄拉克算子和狄拉克波算子的解的性质也有很大的不同。
作为介绍和将来的参考，让我们回顾一下波动算符的BVP及其解。我们将跟着[5,6,7]。回想一下，波动算符的BVP是找到这样的
(1.1)给定初始值和初始速度。
我们首先在维度3中陈述BVP的解决方案，并在下面评论其他情况。
定理1.1
(基尔霍夫公式)设为整数，设u定义为
(1.2)然后，满足波动算子:
此外，对于任何
(1.3)注意，BVP u的解在边界处是-连续的。任意给定它的黎曼变换定义为
(1.4)我们需要下面这个等式，很容易看出来
(1.5)因此基尔霍夫公式可以写成
(1.6)还要注意，用零初始值和零初始速度求解BVP和用零初始值和零初始速度求解BVP。
现在谈谈其他方面。当奇数时，BVP解的显式公式和对应的黎曼变换由
(1.7)其中和是单位球面的表面积。然后用类似式(1.6)给出BVP的解。当n为偶数时的解是由的解推导出来的。对应的变换由
(1.8)同样，偶情况下BVP的解以类似于(1.6)的方式给出。这个显式公式(1.7)、(1.8)证明了对数据进行越来越多的平滑假设以保证-解存在的必要性。这里的关键是我们可以直接使用-函数作为数据。对于分布病例，我们推荐[8]。
本笔记的布局如下。在第二节中，我们将介绍Clifford代数和dirac波算子及其一些性质。我们还将介绍稍后将使用的Teodorescu转换。在第3节中，我们研究了狄拉克波算子的BVP。我们给出了它们解的几个等价。在这里，我们看到了波单基因函数的依赖域和影响范围。作为一个应用，我们找到了狄拉克波齐次多项式空间的一个基本。在第4节中，我们研究狄拉克波算子的能量估计。特别地，我们在这里看到狄拉克波动方程在有限集合和有限传播速度下的唯一性。在最后的第5节中，我们看到了如何将一组波函数扩展为单性波函数，并由此定义了相应的狄拉克波共轭函数。结果是，Teodorescu变换对应于波希尔伯特变换。我们还将具有Clifford代数值的波BVP的任何解分解为dirac -波BVP解和反dirac -波BVP解的和。
2 Clifford代数与Dirac算子
在这里我们收集的基本性质的克利福德代数将与工作。有关Clifford代数和相关事项的更多背景资料和进一步的一般参考资料，有兴趣的读者可参考各专著[9,10,11]。参见[4]。
我们从闵可夫斯基空间开始，这是二次型的
(2.1)用标准正交基。签名为(1,n)的Clifford代数是对酉代数的最小扩展。这意味着下列关系成立
(2.2)任何元素都可以在表单中唯一地表示
(2.3)这里表示乘积如果和，是乘法单位。同时，指示求和只在严格递增的多索引上执行，即带有的l元组。
我们将使用标准克利福德代数的性质。特别地，任何形式的
(2.4)和。
我们赋予半内积结构
(2.5)与。如果我们现在定义一个复共轭，其中表示通常的复共轭，那么这个半内结构推导出半范数
(2.6)上的Clifford共轭，用' bar '表示，被定义为上的共轭的扩展，使得和对于任意。因此if with和then。更具体地说，回想一下，对于任何多索引I，我们有这个。
我们也可以毫无困难地证实
(2.7)接下来，对于每一个考虑到u的-齐次部分的投影映射，即:
(2.8)用的值域表示。由此得出
(2.9)我们将使用偶齐次元素的子代数，我们表示为(这里[m]表示偶数小0等于m)。
作为一个例子和将来的参考，我们有任何可以写成
(2.10)继续，回想一下如果我们让一个开放的集合。则与之相关的经典(齐次)狄拉克算子由
(2.11)这作用于一些(或在)根据
(2.12)叫你单基因。的基本解由
(2.13)我们将只对紧支持的函数，使用我们回忆过的Teodorescu变换。对于定义为的函数，其值为紧支持，其Teodorescu变换定义为
(2.14)我们要用到的T的主要性质[11]定理8.2是
(2.15)注意，上面的性质对-值函数是成立的，但很容易看出它扩展到-值函数。
狄拉克波算符或者双曲狄拉克算符，由
(2.16)根据…行事
(2.17)在哪里。
如果是in，就叫u波单基因。我们将永远站在左派的立场。有一种平行理论，作用于右翼。这是由观察得出的，当且仅当(作用于右侧)。
上面介绍的狄拉克算子最基本的性质之一是，它们可以被认为是我们熟悉的二阶微分算子的平方根。更准确地说，是满足
(2.18)另一个感兴趣的算符是，它也满足。此外，作为一个序列，很容易看出这一点
(2.19)如果我们称它为抗波单基因。
我们会对研究狄拉克波算子的解的空间很感兴趣，即
(2.20)这里有几句话可以毫无困难地加以证实。
话2.1
以下属性包含
- (i)
为了满足波算符，我们要求波单基因函数至少为。
- (2)
空间是一个右模块。
- (3)
如果u(t, x)是波算子的标量值解，则是波单源函数。
- (iv)
对于任意，谐函数都是波单原函数。特别地，它是单基因的，与时间无关。
- (v)
in的任何解都可以分解成两个独立的带和的解。
- (vi)
将u分解为式(2.4)，这是当且仅当满足方程组
(2.21)
作为一个关键的例子，当n=3时，整个麦克斯韦系统可以看作是狄拉克波函数:设电场和磁场，在真空中，麦克斯韦系统由以下四个方程给出:
(2.22)这是电荷密度和电流。单位的选择使光速为1。参见[12]第165页。
我们可以这样把麦克斯韦方程组看作是的非齐次解，如果
(2.23)和
(2.24)一个简单的计算表明，麦克斯韦系统(2.22)相当于。特别地，如果没有电荷或电流，则(2.22)等于。
3.狄拉克波算子的边值问题
本文讨论狄拉克波算子的初值问题。我们至少会用到类的数据函数事实上我们可以假设。我们将关注狄拉克波算子初值问题解的局部性质。
给定一个足够光滑的函数。考虑狄拉克波动方程的初值问题:求
(3.1)回想一下，我们希望解在边界处是连续的。从注释(2.1)(v)中我们看到，带值进去就足够了，u也会带值进去。
在这种情况下，达朗贝尔公式很简单，但它给了我们直觉告诉我们在这种情况下会发生什么。考虑和分别是和起作用的。那么很容易看出下面是等价的。
-
U (t,x)解出(3.1
-
u满足波柯西-黎曼系统
(3.2)和。
-
u的每个分量都满足BVP
(3.3) -
U (t, x)可以由任意公式给出
(3.4)
所有的标准属性(稍微好一点)都符合。例如，u(t, x)的依赖域是区间的端点，初值的影响范围是楔形区域的边界。
在本节的大部分时间里，我们将把注意力完全限制在物理上最相关的情况，即。所有其他情况都以类似的方式完成，使用with n是偶数(1.8)和when是奇数(1.7)。然而，我们强调有必要对初始数据作出越来越多的平滑假设，以确保解的存在。
首先要注意的是，黎曼变换在Clifford值函数中很自然地以分量方式起作用。即，如果，那么
(3.5)在下一个定理中，我们找到了(3.1)的解和几个等价。
定理3.1
设u(t, x)为- in函数。那么下面是等价的
- (i)
U (t, x)解出(3.1
- (2)
u满足8x8的一阶微分系统
- (3)
对于每一个多指标I，满足BVP
(3.6) - (iv)
U (t, x)由公式给出
(3.7) - (v)
如果和u按式(2.4)分解，则
(3.8) (3.9)
证明
[(i)] [(ii)]这只是把u写成式(2.10)和方程的分量。
[(i)] [(iii)]我们知道对每个多指标i取分量，注意，这等价于取极限作为给出速度的条件。
[(iii)] [(iv)]从Kirchhoff公式(1.6)中我们可以得到对于每个多指标I
(3.10)结果是(3.7)。
[(iv)] [(v)]由(3.7)中的分解得到(3.8)。同样由(2.1)(vi)可得(3.7)。
[(iv)] [(i)]注意有初始值的和无初始值的。由此可知，u有初值。下一个由(1.5)得到u可以写成
(3.11)这个产量(3.1)。
下面是这个定理的几个结论。我们以评论的形式收集第一个。
话3.2
(3.1)的狄拉克波解有以下性质
- (i)
依赖域:u(t, x)只依赖于和的值。具体来说，对于每个多索引I，只依赖于和for的值。
- (2)
影响范围:仅在表面上影响u(t, x)。具体地说，对于每一个多指标I，影响分量，，只在表面上，其中对。举例来说，影响表面上的元件。
在下一个推论中，我们将看到BVP的解具有特定形式的条件。我们还注意到，如果初始数据只有某些分量，那么解u通常会有更多的分量。
推论3.3
假设BVP(3.1)的初始数据为
(3.12)这意味着所有其他分量都是零。假设在无穷远处为零，考虑向量场，如果u是(3.1)的解，则
-
如果存在这样的标量值波解。
-
如果不为0,u有多于4个分量，不为0。
-
如果u有值，它们满足麦克斯韦方程组。
证明
证明很简单。
这里我们仍然认为n是任意的。我们将给出上述结果的一个应用。
对于任意k整数，令表示k次齐次多项式的空间，其值为。我们将用k次的齐次波单原多项式的空间表示，其值为。我们会找到一个很好的基底。
对于每个带let的多索引。那么我们都知道，的一组基是由这个集合给出的。继续，设初始数据下BVP(3.1)的解。的表达式如下。
让
(3.13)那么很明显是1次的波单原多项式。我们将遵循[11]中所示的富特多项式的构造。
如上所述，让索引序列的第一个索引等于1，下一个索引等于2，以此类推。接下来我们定义
(3.14)式中表示m个元素的置换群。这是一个对称的过程。
我们从[11]定理6.2(谁的证明适用于这种有次次变化的情况)中看到。此外，很明显，因此，由此可见，any可以写成
(3.15)在哪里。
4 狄拉克波算子的能量估计
在本节中，我们将看到狄拉克波算子的能量估计。这里n还是任意的。注意，我们只在这一部分中使用u(x, t)。在下一个结果中，我们展示了能量守恒。证明以一种微妙的方式使用了克利福德代数结构。
定理4.1
设初始数据为紧支持函数，设u(x, t)为(3.1)的解。然后
(4.1)证明
把u分解成(2.4)式。然后是这个
(4.2)这里我们回想一下，这是a的实部，因此，由于(2.21)以及对于任何函数f，在方程的右边。
(4.3)我们将使用散度定理的以下版本
(4.4)这是单位向外法线。实际上，我们只需要方程的实分量。然后我们要感谢(4.3)和(4.4
(4.5)这里我们使用u是紧支撑的函数。
推论4.2
(Dirac-wave方程的唯一性)设为边界光滑的有界开集，设那么最多存在一个函数解
(4.6)对于某个函数g。
证明
如果u和是(4.6)的解，那么我们继续计算w的能量。我们没有边界项。因此和。
推论4.3
(有限传播速度)设u(t, x)是(3.1)的解。修复和。如果打开，则在圆锥体内。
证明
如果
(4.7)然后用定理(4.1)中的符号和证明，我们得到了它
(4.8)这是单位向外法线。然后在球面上
(4.9)因此for和暗含that。因此在C。
目录
摘要 1 介绍 2 Clifford代数与Dirac算子 3.狄拉克波算子的边值问题 4 狄拉克波算子的能量估计 5 狄拉克波 njugates功能 参考文献 作者信息 道德声明 相关的内容 搜索 导航 #####5 狄拉克波njugates功能
在本节中，我们定义波函数的狄拉克-波共轭。其他情况也是类似的。
对于给定标量波函数的初学者，我们希望找到一个实部满足狄拉克波算子的clifford值函数u。这是一个波的单基因延伸。狄拉克波共轭函数是。同样地，在复分析的情况下，我们将希尔伯特波变换定义为狄拉克波共轭函数在t趋于0时的极限。其实更多才是真的。我们可以给出四个波函数，每一个都有初始数据和初始速度。将它们扩展到波单基因函数是可能的，如果我们取
(5.1)注意，我们需要取平滑和紧支撑的函数，以便得到波算符的经典解。
引理5.1
让用紧凑型支撑。设为具有初始数据和初始速度的(标量)波函数，令为(5.1)，则存在一个值可扩展的单源波函数u。特别地，任何标量波函数都可以扩展为波单原函数。
证明
取(3.1)中的初值为其解
(5.2)将具有初始值的波单基因。所生成的子空间中的值。我们称这个子空间为M。
的Teodorescu变换，它是紧支持的函数。注意，它在子空间m中也取值，因此(3.1)在初始数据下的解为
(5.3)我们有use(2.15)。
如果我们取u是波单源的，并且延伸。
从上面的构造可以看出，我们可以定义为的波共轭
(5.4)注意，相应的波希尔伯特变换将是Teodorescu变换。
下一个推论将给出一个波函数的分解，其值在克利福德代数中为波单源函数和反波单源函数的和。
推论5.2
设u是具有值的波函数的BVP紧支持的解，则存在Clifford值函数，使得，和。分解是唯一的模块单基因解。
证明
分解如(2.4)。然后利用引理(5.1)和(2.1)(ii)，分别存在波单原函数和扩展和。然后让我们感谢(2.19)是一个抗波单源函数。然后。接下来，如果很容易的话。
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